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Einführung in die Theorie von Galois

Der Kurs “Introduction à la théorie de Galois” auf Coursera ist eine hervorragende Gelegenheit für alle, die sich für die faszinierende Welt der algebraischen Strukturen und deren Anwendungen in der Mathematik interessieren. Geleitet von einem erfahrenen Dozenten bietet dieser Kurs einen tiefen Einblick in die grundlegenden Konzepte und Methoden der Galoistheorie.

Kursübersicht

Die Theorie von Galois ist eine der wichtigsten Entwicklungen der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen den Wurzeln von Polynomen und deren symmetrischen Eigenschaften. Der Kurs behandelt Themen vom klassischen Kriterium der Nicht-Lösbarkeit polynomieller Gleichungen bis hin zu fortgeschrittenen Methoden zur Berechnung von Galois-Gruppen durch Reduktion modulo einer Primzahl.

Syllabus

• Einführung: Beschreibung des Problems und einige Ergebnisse über Polynome einer Variablen als Aufwärmung.
• Körpererweiterungen: Algebraizität, algebraisch abgeschlossene Körper, das Lemma des primitiven Elements.
• Minimalpolynom: Konjugierte Elemente.
• Endliche Körper: Frobenius, Automorphismen, Endkörpererweiterungen.
• Gruppentheorie I: Grundlegende Ergebnisse, Ordnung eines Elements, Lagrange-Satz.
• Galois-Korrespondenz: Artin-Lemma, Galois-Gruppen, Galois-Korrespondenz.
• Gruppentheorie II: Auflösbare Gruppen, Nicht-Aufsösbarkeit der symmetrischen Gruppe Sn für n ≥ 5.
• Cyclotomie I: Allgemeine cyclotomische Erweiterung, Kummer-Theorie.
• Galois-Auflösbarkeitssätze: Kriterium der Auflösbarkeit, Galois-Satz bei Grad p.
• Reduktion mod p: Galois-Gruppen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten durch Reduktion modulo p.
• Ergänzungen: Cyclotomie über Q (durch Reduktion modulo p) und andere Anwendungen.

Warum sollten Sie diesen Kurs belegen?

Dieser Kurs ist ideal für Studierende und Mathematiker, die ihr Wissen über die Verbindung zwischen Algebra und Geometrie vertiefen möchten. Die mühelos verständliche Einführung und die logische Gliederung des Inhalts machen komplexe Konzepte zugänglicher. Außerdem werden durch praxisnahe Beispiele und Übungen die theoretischen Konzepte greifbar.

Fazit

Ich empfehle diesen Kurs jedem, der ein Interesse an Mathematik hat, insbesondere an algebraischen Strukturen. Er bietet nicht nur wertvolles Wissen, sondern fördert auch das kritische Denken und das Problemlösen, die in der Mathematik entscheidend sind.

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